円が通過しない領域

問題

放物線y=x^2上に、点Pをとる。aを実数として、点Pの座標を、(a,a^2)と表すことにする。

また、点A(0,5)をとる。

点Qは、線分APを2:1に内分する点である。

点Rは、線分APを2:1に外分する点である。

点Pが放物線y=x^2上を動くことによって、線分QRを直径とする円（以下、単に「円」という）が通過する領域を図示すると、下図のようになる。

このとき、円が通過しない領域のうち、点Aを含むもの（下図の赤い領域。以下、この領域を「A-間隙」という）について考える。

具体的には、以下のことを、GeoGebraで調べてみたい。すなわち、（１）A-間隙の輪郭を、aを媒介変数とする曲線として記述することは可能か、（２）A-間隙の上端・下端のy座標をaで表すとどうなるか、（３）A-間隙の面積はいくらか。

なお、下記の結果は、あくまでGeoGebraによる観察に基づいて得られた結果であり、証明を行ったわけではない点に留意されたい。

準備作業として、 Q、R、円の中心（Cとする）の座標、および円の方程式を、aで表しておく。

（１）A-間隙の輪郭の媒介変数表示

（追記）上記②の直線は、放物線y=x^2の、点Pにおける法線と一致することが分かりました。

（２）A-間隙の上端・下端のy座標

以下のアプレットでは、aの値または点Pの座標を変化させたときの動きを確認することができる。

アプレットのダウンロードは、下記リンクより可能です。

ブラウザ上で開く

https://www.geogebra.org/m/cjrxjukk

ggbファイルをダウンロード

https://www.geogebra.org/material/download/format/file/id/cdvxxxnt

（３）A-間隙の面積