頭の体操としての「穴あき数列問題」と多項式関数

インターネット配信上で、次のような頭の体操の問題に出会いました*1。

次の？に入る数字は何か。

9→3→12→3→15→？→6→8→15

この問題の「頭の体操」としての答えは、27です。

なぜならば、問題の数列は、円周率で登場する数字を順に並べた数列

3→1→4→1→5→9→2→6→5

の各項を3倍したものといえるからです。

GeoGebraにおける表現を用いて言い換えれば、問題の数列の各項を左から順にa(0), a(1), a(2), ... とおいたときに、一般項a(n)が

3*Mod[floor(π 10^n), 10]

であるものと解釈すれば、a(5)=27が導けます。

ところで、xについての多項式関数であり、かつ、

f(0)=9, f(1)=3, f(2)=12, f(3)=3, f(4)=15, f(6)=6, f(7)=8, f(9)=15

であるような関数fが存在するとすれば*2、問題の数列は、f(0)からf(9)までを順に並べたものであると説明することもできそうです。問題の数列をこのように解釈すれば、f(5)の数字を問題の答えとすることもできるでしょう*3。

GeoGebraでは、

Polynomial[ { (0,9),(1,3),(2,12),(3,3),(4,15),(6,6),(7,18),(8,15) } ]

とすれば、fの一例として、xの7次関数を得られます。

また、

Polynomial[ { (0,9),(1,3),(2,12),(3,3),(4,15),(5,27),(6,6),(7,18),(8,15) } ]

とすれば、fの一例として、f(5)=27であるようなxの8次関数を得られます（下記の画像では、g(x)として紹介しています）。

*1:ヒカル様（

https://twitcasting.tv/1210r3twzgufptr、2018年12月15日

）

*2:さらに、fはxの7次関数に限るという条件が加わると、fは一意に定まります。しかし、そのような条件がなければ、fは無数に存在し、f(5)の値も一意に定まりません。

*3:もっとも、このような解釈は、数字の並びの規則性を発見するという、頭の体操としての出題趣旨からは逸れるものであることは、言うまでもありません。