点がパス上にあるか否かを表す真偽値オブジェクト

点が領域内にあるか否かを表す真偽値オブジェクトは、

IsInRegion[ <点>, <領域> ]

で作成できる。

これに対して、点がパス内にあるか否かを表す真偽値オブジェクトは、どうすれば作成できるだろうか。これを作成するためのコマンドは用意されていないので、他のコマンドの組み合せで作れるかを試みた。

ClosestPoint[ <パス>, <点> ]

は、指定した点に最も近いパス上の点を返すコマンドである。これを用いて、

<点P> ≟ ClosestPoint[ <パス>, <点P> ]

とすれば、目的の真偽値オブジェクトを作成できる。

任意の点を要素とするリストオブジェクトを作成し、名前を list1 とする。

list1の凸包は、

ConvexHull[ list1 ]

で作成できる。これは軌跡オブジェクトである。軌跡オブジェクトは、パスの一種である*1。

list1の要素である点のうち、list1の凸包の頂点のみを抽出して、リストとして得るには、以下のようにすればよい（これによって得られるリストの名前を、仮にconvexListとする）。

RemoveUndefined[Zip[If[t ≟ ClosestPoint[ConvexHull[list1], t], t, ?], t, list1]]

list1の各要素である点について、その点が凸包ConvexHull[ list1 ]上にあるならば、その点自身を返し、そうでなければ未定義オブジェクト「?」を返す、という作業を行い、結果をリストで得る。そして、RemoveUndefined コマンドで、未定義オブジェクト「?」を除去している。

上記で求めた convexList を用いて、

Polygon[ convexList ]

としても、必ずしも凸多角形を得られるとは限らない。これは、convexList 内の要素である点が、必ずしも凸多角形を与えるような順序で並んでいるとは限らないことが原因である。

convexListの要素を、凸多角形を与えるような順序に並び替えるには、パスパラメータ*2をキーとして、Sort コマンドを実行すればよい。

convexListの要素のパスパラメータを、リストとして得るには、以下のようにすればよい（これによって得られるリストの名前を、仮にpathListとする）*3。

RemoveUndefined[Zip[If[t ≟ ClosestPoint[ConvexHull[list1], t], PathParameter[ClosestPoint[ConvexHull[list1], t]], ?], t, list1]]

そして、

Polygon[Sort[convexList, pathList]]

によって、目的の凸多角形を得ることができる。

上記の結果を利用して、点のリストを引数として、その凸包を多角形オブジェクトで返すオリジナルツールを作成した。

*1:パスの定義は、

を参照。

*2:パスパラメータの定義は、

を参照。

*3:なお、convexListを用いて、

Zip[PathParameter[a],a,convexList]

とする方法でも良さそうだが、実際に試したところ、「?」からなるリストが返され、使えなかった。

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